فعالیت ۱ صفحه ۴۰ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
فعالیت ۱. هر چند امروزه بخش عمده‌ای از افراد از اضافه وزن رنج می‌برند، بخش دیگری نیز دچار کمبود وزن نسبت به وزن استاندارد هستند. هر دو گروه باید تلاش کنند که وزن خود را استاندارد کنند. یک روش برای این کار، پیاده‌روی منظم روزانه است. فرض کنیم یک گروه خاص از افراد در یک روز، به ازای هر گرم افزایش یا کاهش وزن باید یک ثانیه پیاده‌روی کند. بر این اساس فردی با $\text{1200}$ گرم اضافه وزن یا $\text{1200}$ گرم کمبود وزن باید $\text{1200}$ ثانیه، یعنی $\mathbf{20}$ دقیقه روزانه به‌صورت منظم پیاده‌روی کند و فردی با $\text{2400}$ گرم کمبود وزن باید روزانه $\mathbf{2400}$ ثانیه یعنی $\mathbf{40}$ دقیقه به‌صورت منظم پیاده‌روی کند.
این مفهوم را می‌توان به کمک نمودار زیر نشان داد:
تصویر: نمودار تابع قدر مطلق (شکل $\text{V}$) که محور افقی ($\\text{x}$) **اختلاف وزن با وزن استاندارد (گرم)** و محور عمودی ($\\text{y}$) **زمان پیاده‌روی روزانه (ثانیه)** است. نقاط مهم آن: $(1200, 1200)$, $(-1200, 1200)$, $(2400, 2400)$, $(-2400, 2400)$ و $(athbf{0}, athbf{0})$ هستند.
اگر مقدار اضافه وزن را با علامت مثبت و مقدار کمبود وزن را با علامت منفی نشان دهیم و $\text{f}$ بیانگر تابعی باشد که میزان پیاده‌روی بر حسب ثانیه را نشان می‌دهد، اطلاعات پیش گفته را به صورت زیر می‌توانیم بیان کنیم:
$$\text{f}(1200) = \dots \quad \text{f}(-1200) = \dots$$
$$\text{f}(\dots) = 2400 \quad \text{f}(\dots) = 2400$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۴۰ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
سلام! این فعالیت یک مثال کاربردی و عالی از **تابع قدر مطلق** است. این تابع نشان می‌دهد که در این مورد، **جهت تغییرات** (اضافه وزن یا کمبود وزن) اهمیتی ندارد و فقط **اندازهٔ اختلاف** (قدر مطلق اختلاف) است که میزان کار لازم را تعیین می‌کند.
### ۱. تکمیل مقادیر تابع بر اساس قانون
**قانون:** به ازای هر $\mathbf{1}$ گرم اختلاف وزن، $\mathbf{1}$ ثانیه پیاده‌روی لازم است. یعنی $\text{f}(\text{x}) = |\text{x}|$.
* **$\text{f}(1200)$:** $1200$ گرم اضافه وزن ($\text{x}=1200$) $\to 1200$ ثانیه پیاده‌روی.
$$\mathbf{\text{f}(1200) = 1200}$$
* **$\text{f}(-1200)$:** $1200$ گرم کمبود وزن ($\text{x}=-1200$) $\to |-1200| = 1200$ ثانیه پیاده‌روی.
$$\mathbf{\text{f}(-1200) = 1200}$$
* **$\text{f}(\dots) = 2400$:** چه مقداری $\text{x}$ باعث $\text{f}(\text{x})=2400$ می‌شود؟
* $| ext{x}| = 2400 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = 2400} \quad \text{یا} \quad \mathbf{\text{x} = -2400}$
$$\mathbf{\text{f}(2400) = 2400} \quad \text{و} \quad \mathbf{\text{f}(-2400) = 2400}$$
### ۲. تحلیل نمودار و ضابطه تابع
همانطور که نمودار $\mathbf{V}$-شکل نشان می‌دهد، این تابع در واقع **تابع قدر مطلق** است.
$$\mathbf{\text{f}(\text{x}) = |\text{x}|}$$
**تعریف چندضابطه‌ای تابع قدر مطلق:**
$$\mathbf{\text{f}(\text{x}) = |\text{x}| = \begin{cases} \text{x} & \text{x} \ge 0 \quad (\text{اضافه وزن}) \\ -\text{x} & \text{x} < 0 \quad (\text{کمبود وزن}) \end{cases}}$$
این تابع به ما نشان می‌دهد که هر فرد، بدون توجه به اینکه اختلاف وزنش مثبت (اضافه وزن) یا منفی (کمبود وزن) است، باید به اندازهٔ **قدر مطلق** آن عدد ($\mathbf{\text{x}}$) پیاده‌روی کند تا به وزن استاندارد نزدیک شود.
